Contoh Makalah Logika Matematika:TAMPIL CANTIK DAN MENAWAN

Contoh Makalah Logika Matematika

Nah langsung saja Contoh makalah logika Matematika Salah satu karya Aristoteles adalah logika yang banyak berisi pengertian, pembuktian silogisme, dan lain-lain. Ini ajaran aristoteles mengenai logika adalah Sylogisme, yaitu keputusan kedua yang tersusun sedemikian hingga melahirkan keputusan yang ketiga. Logika yang dikemukakan oleh Aristoteles dikenal sebagai logika tradisional, yang menjadi tonggak pemikiran logika.

Makalah

LOGIKA MATEMATIKA

OLEH :

NAMA :

NIM :

KELAS :

TEKNIK INFORMATIKA

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PAREPARE

KATA PENGANTAR

Assalamu Alaikum Wr. Wb

Puji syukur kita panjatkan kehadirat Allah SWT karena dengan rahmat dan hidayah-Nya lah sehingga Makalah ini dapat terselesaikan. Tak lupa pula salam dan taslim tak henti-hentinya kita haturkan kepada junjungan Nabi Muhammad SAW ,Nabi pembawa obor keselamatan dunia wal akhirat. Amin

Ucapan terimakasih kami berikan kepada pihak-pihak yang telah memberikan masukan yang bermanfaat sehingga makalah kami ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya. Permohonan maaf dan kritikan yang bersifat membangun sangat kami harapkan karena kami menyadari masih banyak kekurangan dan kekhilafan di dalam makalah kami ini, karena kesempurnaan sesungguhnya hanya datangnya dari Allah SWT. Semoga makalah kami ini dapat bermanfaat bagi para pembaca pada khususnya dan masyarakat pada umumnya.

Wassalamu Alaikum Wr. Wb

Penulis

Parepare, April 2013

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR.............................................................. i

DAFTAR ISI............................................................................. ii

BAB I PENDAHULUAN........................................................ 1

A. Latar Belakang............................................................... 1

B. Rumusan Masalah.......................................................... 3

C. Tujuan Makalah.............................................................. 3

BAB II PEMBAHASAN.......................................................... 4

A. Invers, Konvers, dan kontraposisi................................... 4

B. Bilangan berkuantor........................................................ 6

C. penarikan kesimpulan...................................................... 8

BAB III PENUTUP.................................................................. 13

A. KESIMPULAN............................................................... 13

B. SARAN............................................................................ 13

DAFTAR PUSTAKA............................................................... 14

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Salah satu karya Aristoteles adalah logika yang banyak berisi pengertian, pembuktian silogisme, dan lain-lain. Ini ajaran aristoteles mengenai logika adalah Sylogisme, yaitu keputusan kedua yang tersusun sedemikian hingga melahirkan keputusan yang ketiga. Logika yang dikemukakan oleh Aristoteles dikenal sebagai logika tradisional, yang menjadi tonggak pemikiran logika.

Pada abad ke_18 Masehi, G.W.Leibniz. ahli matematika berkebangsaan Jerman, pertama kali mempelajari logika simbolik. Ahli matematika yang lainnya yang berjasa dalam pengembangan logika simbolik adalah George Boole, Leonard Euler, dan Bertrand Russel.

Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani “logos” yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bias juga berarati ilmu pengetahuan (Khusumah, 1986). Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (tidak valid). Proses berpikir yang terjadi disaat menurunkan atau menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan yang diketahui benar atau dianggap benar itu biasanya disebut dengan penalaran.

Melalui logika kita dapat mengetahui kebenaran suatu pernyataan dari suatu kalimat dan mengetaui apakah pernyataan pertama sama maknanya dengan pernyataan kedua. Misalkan, apakah pernyataan “jika sekarang adalah hari minggu maka sekolah libur?” untuk menjawab pertnayaan ini tentu kita perlu mengetahui aturan –aturan dalam logika. Contoh lain, misalkan ada dua pernyataan “jika anak pandai maka ia berprestasi di kelas. Jika ia berptrestasi di kelas maka ia di sayangi guru-gurunya?”

Banyak hal yang perlu kita ketahui mengenai logika. Dengan logika kita dapat mengetaui apakah suatu pernyataan bernilai benar atau salah. Hal terpenting yang akan didapatkan setelah mempelajari logika matematika adalah kemampuan atau keahlian mengambil kesimpulan dengan benar atau salah. Logika matematika memberikan dasar bagi sebuah pengambilan kesimpulan dan dapat dalam banyak aspek kehidupan.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka penulis merumuskan beberapa masalah sebagai berikut:

1. Bagaimanakah invers, konvers, dan kontraposisi itu?

2. Apa itu bilangan berkuantor?

3. Bagaimana penarikan kesimpulan terakhirnya?

C. Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka adapun tujuan penulis dalam merumuskan masalah tersebut, yaitu sebagai berikut:

1. Untuk mengetahui invers, konvers, dan kontroposisi dalam logika matematika.

2. Untuk mengetahui apa itu bilangan berkuantor.

3. Untuk mengetahui penarikan kesimpulan dari logika matematika yang telah di pelajari sebelumnya.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Invers, Konvers, dan Kontraposisi

1. Invers

Apabila dua pernyataan P dan Q, yaitu dapat ditulis P ⇒ Q, maka invers dari implikasi tersebut adalah ~P ⇒ ~Q.

Contoh:

P : Fungsinya linier

Q : Grafiknya garis lurus

Implikasi :

Jika fungsinya linier, maka grafiknya garis lurus.

Invers :

Jika fungsinya bukan linier, maka grafinya bukan garis lurus.

2. konvers

Apabila dua pernyataan P dan Q, yaitu dapat ditulis P ⇒ Q, maka konvers dari implikasi tersebut adalah Q ⇒ P.

Contoh:

P : x²bilangan asli

Q : x adalah bilangan asli

Implikasi :

Jika x² bilangan asli, maka x adalah bilangan asli

Konvers :

Jika x adalah bilangan asli, maka x² bilangan asli

3. Kontraposisi

Apabila dua pernyataan P dan Q, yaitu dapat ditulis P ⇒ Q, maka kontraposisi dari implikasi tersebut adalah ~Q ⇒ ~P.

Contoh:

P : Harga naik

Q : Permintaan turun

Implikasi :

Jika harga naik, maka permintaan turun.

Invers :

Jika permintaan tidak turun, maka harga tidak naik.

Ø Hubungan Konvers, Invers, & Kontraposisi

Contoh:

Implikasi : P ⇒ Q

Jika 2 + 4 > 5, maka 5 merupakan bilangan prima.

Konvers : Q ⇒ P

Jika 5 merupakan bilangan prima, maka 2 + 4 > 5

Invers :~P ⇒ ~Q

Jika 2 + 4 ≤ 5, maka 5 bukan merupakan bilangan prima

Kontraposisi :~Q ⇒ ~P

Jika 5 bukan merupakan bilangan prima, maka 2 + 4 ≤ 5

B. Bilangan Berkuantor

Fungsi Pernyataan

Suatu fungsi pernyataan adalah suatu kalimat terbuka di dalam semesta pembicaraan (semesta pembicaraan diberikan secara eksplisit atau implisit). Fungsi pernyataan merupakan suatu kalimat terbuka yang ditulis sebagai p(x) yang bersifat bahwa p(a) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk setiap a (a adalah anggota dari semesta pembicaraan). Ingat bahwa p(a) suatu pernyataan.

Kuantor Umum (Kuantor Universal)

Simbol "yang dibaca “untuk semua” atau “untuk setiap” disebut kuantor umum. Jika p(x) adalah fungsi proposisipada suatu himpunan A (himpunan A adalah semesta pembicaraannya) maka ("x Î A) p(x) atau "x, p(x) atau "x p(x) adalah suatu pernyataan yang dapat dibaca sebagai “untuk setiap x elemen A, p(x) merupakan pernyataan “untuk semua x, berlaku p(x)”.

Kuantor Khusus (Kuantor Eksistensial)

Simbol $ dibaca “ada” atau “untuk beberapa” atau “untuk paling sedikit satu” disebut kuantor khusus. Jika p(x) adalah fungsi pernyataan pada himpunana tertentu A (himpunana A adalah semesta pembicaraan) maka ($x Î A) p(x) atau $x! p(x) atau $x p(x) adalah suatu pernyataan yang dibaca “Ada x elemen A, sedemikian hingga p(x) merupakan pernyataan” atau “Untuk beberapa x, p(x)”. ada yang menggunakan simbol $! Untuk menyatakan “Ada hanya satu”.

Negasi Suatu Pernyatan yang Mengandung Kuantor

Jika p(x) adalah manusia tidak kekal atau x tidak kekal, maka “Semua manusia adalah tidak kekal” atau "x p(x) bernilai benar, dan “Beberapa manusia kekal” atau $x ~ p(x) bernilai salah. Pernyataan di atas dapat dituliskan dengan simbol : ~ ["x p(x)] º $x ~ p(x)

Fungsi Pernyataan yang Mengandung Lebih dari Satu Variabel

Didefinisikan himpunan A1, A2, A3, . . ., An, suatu fungsi pernyataan yang mengandung variabel pada himpunan A1 x A2 x A3 x . . . x An merupakan kalimat terbuka p(x1, x2, x3, . . ., xn) yang mempunyai sifat p(a1, a2, a3, . . ., an) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk (a1, a2, a3, . . ., an) anggota semesta A1 x A2 x A3 x . . . x An.

C. Penarikan Kesimpulan

Modus ponens, modus tollens dan silogisme adalah metode atau cara yang digunakan dalam penarikan kesimpulan. Proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarannya (disebut premis). Kemudian dengan menggunakan prinsip-prinsip logika dapat diturunkan pernyataan baru (disebut kesimpulan/konklusi) yang diturunkan dari premis-premis semula. Penarikan kesimpulan seperti itu sering juga disebut argumentasi. Suatu argumentasi disusun dengan cara menuliskan premis-premisnya baris demi baris dari atas ke bawah, kemudian dibuat garis mendatar sebagai batas antara premis-premis dengan konklusi. Misalkan pernyataan-pernyataan yang diketahui (premis-premis) adalah a dan b, konklusinya c, maka argumentasi tersebut dapat disajikan dalam susunan berikut.

a ……. premis 1

b ……. premis 2

c ……. kesimpulan/konklusi

Pernyataan a sebagai premis 1, pernyataan b sebagai premis 2, dan pernyataan c sebagai kesimpulan/konklusi. Tanda  dibaca “jadi” atau “oleh karena itu”

1. Modus Ponens

Misalkan diketahui premis-premis p  q dan p. Dari premis-premis itu dapat diambil konklusi q. Pengambilan kesimpulan dengan cara seperti itu disebut modus ponens atau kaidah pengasingan. Modus ponens disajikan dalam susunan sebagai berikut.

p q ……. premis 1

p ……. premis 2

q ……. kesimpulan/konklusi

2. Modus Tollens

Misalkan diketahui premis-premis p  q dan ~q. Dari premis-premis itu dapat diambil konklusi ~p. Pengambilan kesimpulan dengan cara seperti itu disebut modus tollens atau kaidah penolakan akibat. Modus tollens disajikan dalam susunan sebagai berikut.

p q ……. premis 1

~q ……. premis 2

~p ……. kesimpulan/konklusi

3. Silogisme

Misalkan diketahui premis-premis p  q dan q  r. Dari premis-premis itu dapat diambil konklusi p  r. Pengambilan kesimpulan dengan cara seperti itu disebut kaidah silogisme. Silogisme disajikan dalam susunan sebagai berikut.

p q ……. premis 1

q r ……. premis 2

p r ……. kesimpulan/konklusi

Contoh:

1. Diketahui

Premis 1 : Jika Adi rajin belajar maka Adi lulus ujian

Premis 2 : Jika Adi lulus ujian maka Adi dapat diterima di PTN

Penarikan kesimpulan dari premis–premis tersebut adalah…

A. Jika Adi rajin belajar maka Adi dapat diterima di PTN

B. Adi tidak rajin belajar atau Adi dapat diterima di PTN

C. Adi rajin belajar tetapi Adi tidak dapat diterima di PTN

D. Adi tidak rajin belajar tetapi Adi lulus ujian

E. Jika Adi tidak lulus ujian maka Adi dapat diterima di PTN

Jawaban : A

Pembahasan:

Misalkan : p = Adi rajin belajar

q = Adi lulus ujian

r = Adi dapat diterima di PTN

Premis 1 : p q

Premis 2 : q r

Kesimpulan : p r

Diketahui premis-premis berikut:

Premis 1 : Jika semua harta benda Andi terbawa banjir, maka ia menderita

Premis 2 : Andi tidak menderita

Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah …

A. SemuahartabendaAnditidakterbawabanjir

B. Ada hartabendaAndi yang terbawabanjir

C. SemuahartabendaAnditerbawabanjir

D. Ada hartaAndi yang tidakterbawabanjir

E. Tidakadabanjir

Jawaban : A

Pembahasan:

Misalkan : p = semua harta benda Andi terbawa banjir

q = ia menderita

~q = Andi tidak menderita

Premis 1 : p q

Premis 2 : ~q

Kesimpulan : ~p

3. Negasi dari pernyataan “Ani senang bernyanyi dan tidak senang olah raga”, adalah …

A. Ani tidak senang bernyanyi tetapi senang olah raga

B. Ani senang bernyanyi juga senang olah raga

C. Ani tidak senang bernyanyis atau tidak senang olah raga

D. Ani tidak senang bernyanyi atau senang olah raga

E. Ani senang bernyanyi atau tidak senang olah raga

Jawaban : D

Pembahasan:

Misalkan : p = Ani senang bernyanyi

~q = tidak senang olahraga

~ ( p ~q ) ~p

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani “logos” yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau biasa juga berarati ilmu pengetahuan (Khusumah, 1986). Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (tidak valid).

Dalam logika matematika ada dua kalimat yang penting, yaitu kalimat pernyataan dan kalimat terbuka serta terdapat juga operasi logika, yaitu negasi (ingkaran), konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi. Dari suatu implikasi dapat dibentuk implikasi lain yaitu konvers, invers, dan kontraposisi. Selain itu, kita juga dapat mengetahui bilangan berkuantor yang ada dalam logika matematika ini.

B. Saran

Dengan penyusunan makalah ini, penulis berharap pengetahuan mengenai logika matematika dapat diaplikasikan dalam kehidupan atau dapat digunakan dalm banyak aspek kehidupan. Melalui logika kita dapat mengetahui apakah suatu pernyataan benar atau salah. Hal terpenting yang akan didapatkan setelah mempelajari logika matematika adalah kemampuan mengambil kesimpulan dengan benar atau salah.

DAFTAR PUSTAKA

http://mathematica..com

http://newsinformasi013.blogspot.com

www.soesilongeblog.wordpress.com